|
Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων -
οἱ
διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τοῦ Δρ. Παναγιώτη Δ. Παπαδημητρίου
Διαβάζοντας διάφορα θεωρητικὰ βιβλία, παρατηροῦμε ὅτι ἀναφέρονται οἱ ἀποστάσεις τῶν χορδῶν μεταξύ τους μὲ κλασματικοὺς λόγους, ἀλλὰ καὶ μὲ ἀκέραια τμήματα/κόμματα (π.χ. 12, 10, 8, κτλ.). Ὅμως, γιὰ τὸν τρόπο μὲ τὸν ὁποῖον γίνεται ἡ ἀντιστοίχιση ἀπὸ τὰ πρῶτα στὰ δεύτερα (ἡ κοινῶς λεγομένη σύγκραση), δὲν ἔχουμε δεῖ νὰ γίνεται ἐπιστημονικὸς λόγος. Αὐτὸ τὸ κενὸ θὰ προσπαθήσουμε νὰ καλύψουμε σὲ αὐτὸ τὸ ἄρθρο μας. Νὰ τονίσουμε ὅτι ἡ ἔρευνά μας βασίζεται στὸ γεγονὸς ὅτι ἡ "ἀληθινὴ" κλίμακα (ἀπὸ ἐδὼ καὶ πέρα, κλίμακα) εἶναι αὐτὴ ποὺ δίνεται μὲ κλασματικοὺς λόγους, καὶ ὅτι οἱ κλίμακες μὲ τὰ τμήματα/κόμματα (ἀπὸ ἐδὼ καὶ πέρα, συγκερασμένες κλίμακες), δὲν εἶναι παρὰ προσεγγίσεις τῆς κλίμακας. Σὲ αὐτὸ τὸ ἄρθρο, θὰ περιοριστοῦμε μόνο στὴν διατονικὴ κλίμακα, καὶ θὰ ἀσχοληθοῦμε μὲ τὰ παρακάτω θέματα:
1. Ἡ διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου. Ἡ διατονικὴ κλίμακα ποὺ ἀποδέχονται τὰ περισσότερα θεωρητικά, εἶναι αὐτὴ τοῦ Διδύμου τοῦ Ἀλεξανδρέως, 1ος μ.Χ. αἰ. [Κηπουργός 1985, σ. 87] (ἐπίσης δὲς Δεβρελῆ, σ. 31): Νη - 9/8 - Πα - 10/9 - Βου - 16/15 - Γα - 9/8 - Δι - 9/8 - Κε - 10/9 - Ζω - 16/15 - Νη', καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν:
ὅπου:
Γιὰ τὴν ἰστορία, "ὁ Πυθαγόρας πειραματιζόμενος ἀκουστικὰ στὸ μονόχορδο, βρῆκε τοὺς λόγους τῶν διαστημάτων τῆς ὀκτάβας (1/2 τοῦ μήκους τῆς χορδῆς), τῆς πέμπτης (2/3), καὶ τῆς τετάρτης (3/4)" [Κηπουργός]. Ἐπίσης, τὸ διάστημα μείζονος τρίτης 5/4, ἀποδίδεται στὸν Δίδυμο τὸν Ἀλεξανδρέα, κατὰ τὸν Κηπουργό. Γιὰ νὰ βροῦμε τὴν συχνότητα ἑνὸς φθόγγου (δεδομένης γιὰ παράδειγμα τῆς συχνότητας τοῦ Νη = φ), ἀπλὰ πολλαπλασιάζουμε τὸ φ μὲ τὸ ἀντίστροφο τοῦ σχετικοῦ μήκους τῆς χορδῆς τοῦ φθόγγου, π.χ. συχνότητα Κε = φ * 27/16. Τὴν παραπάνω διατονικὴ κλίμακα, ἀναφέρουν ἐπίσης καὶ τὰ ἐξῆς θεωρητικὰ βιβλία:
Πάντως νὰ ποῦμε ὅτι τόσα θεωρητικὰ βιβλία ὑπάρχουν, καὶ φαίνεται ὅτι δὲν τολμοῦν (ἐν γένει) οἱ συγγραφεῖς των νὰ καταπιαστοῦν μὲ τὴν κλίμακα, παρὰ δίνουν τὴν συγκερασμένη κλίμακα (συνήθως ἀντιγραφὴ ἐκ τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881), γιὰ τὴν ὁποῖαν διερωτῶμαι ποιοὶ ἔχουν ἀκούσει πῶς ἀκούγεται. Τὸ βασικότερο στοιχεῖο τῆς θεωρίας, ἡ κλίμακα (χωρὶς αὐτὴν τὶ θὰ ψάλλεις;), καὶ ὅμως ὑπάρχει κατὰ τὴν γνώμη μας μεγάλη ἄγνοια περὶ αὐτήν.
2. Ἡ διατονικὴ κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς, ὁ συγκερασμός της, καὶ σύγκριση μὲ τὴν διατονική κλίμακα τοῦ Διδύμου, καὶ τὴν διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου. Ἡ Ἐπιτροπὴ τοῦ 1881, ἀναφέρει τοὺς λόγους τῶν διαστημάτων τῆς δικῆς της διατονικῆς (μὴ συγκερασμένης) κλίμακας (σ. 16, 14, τῆς "Στοιχειώδους διδασκαλίας"), κατὰ τὴν ὁποῖαν "ἀντικείμενον ἐπανειλημμένων δοκιμῶν ἐγένετο τὸ μῆκος τῆς χορδῆς διὰ τὸν φθόγγο Βου, ἡ μέση αὐτοῦ ἀξία εὑρέθη οὖσα 0,810 ἐπὶ χορδῆς ἑνὸς μέτρου": Νη - 9/8 - Πα - 800/729 - Βου - 27/25 - Γα - 9/8 - Δι - 9/8 - Κε - 800/729 - Ζω - 27/25 - Νη', καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν, [σ. 14 τοῦ ἐγχειριδίου τῆς Ἐπιτροπῆς]:
ἢ ἰσοδύναμα [εὐχαριστοῦμε τὸν ἱεροψάλτη Ἰωάννη Ἀρβανίτη γιὰ τὴν ὑπόδειξη]:
ὅπου:
Ἐπίσης, στὴν "Στοιχειώδη διδασκαλία..." τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881, διαβάζουμε (σ. 22): "[...] ἡ Ἐπιτροπὴ προὐτίμησε τὴν πειραματικὴν μέθοδον πάσης θεωρίας· προέβη δηλαδὴ εἰς τὴν σύγκρασιν κατὰ προσέγγισιν τῶν διαστημάτων τοῦ διαγράμματος, ἐπιβαλλομένην πάντοτε εἰς τὴν κατασκευὴν τῶν ὀργάνων χάριν τῆς εὐχρηστίας, [...]. Καὶ μετὰ πολλὰς δοκιμὰς εὖρεν ὅτι ἡ διαίρεσις τοῦ διαστήματος διαπασῶν εἰς 36 ἀκουστικὰ ἴσα διαστήματα ἐκφέρει τὰ ἡμέτερα ᾄσματα μετὰ προσεγγίσεως δυναμένης νὰ εὐχαριστήσῃ τὸν μᾶλλον μεμψίμοιρον ἱεροψάλτην· ἐκ τῶν 36 τούτων ἴσων ἀκουστικῶν βαθμίδων, ἂς ἀπεκάλεσε τμήματα, ἀποδώσασα ἕξ εἰς τὸν μείζονα, πέντε εἰς τὸν ἐλάσσονα, καὶ τέσσαρα εἰς τὸν ἐλάχιστον κετεσκεύασε τὸ Ψαλτήριον." Δηλαδὴ τὰ διαστήματα τῆς Ἐπιτροπῆς γιὰ τὴν συγκερασμένη διατονικὴ κλίμακα, εἶναι (σ. 49 τῆς "Στοιχειώδους διδασκαλίας"): Νη - 6 - Πα - 5 - Βου - 4 - Γα - 6 - Δι - 6 - Κε - 5 - Ζω - 4 - Νη'. Ἐπίσης ἀναφέρει ἡ Ἐπιτροπή, σ. 23: "Ὑποδεικνύει ἐνταῦθα ἡ Ἐπιτροπὴ ὅτι διαίρεσις τοῦ διὰ πασῶν εἰς 72 ἴσα ἀκουστικὰ διαστήματα ἤθελεν ἐπιφέρει τελειοτέραν μεταξὺ θεωρίας καὶ πράξεως συμφωνίαν" (σημείωσε ὅτι αὐτὸ ποὺ λέει ἡ Ἐπιτροπὴ δὲν εἶναι ἀπαραίτητα σωστό γιὰ κάθε εἴδους κλίμακα). Δηλ. τώρα τὰ διαστήματα θὰ εἶναι (πολλαπλασίασε ἐπὶ δύο, τὰ διαστήματα τῆς ἀνωτέρω κλίμακας): Νη - 12 - Πα - 10 - Βου - 8 - Γα - 12 - Δι - 12 - Κε - 10 - Ζω - 8 - Νη'. Σημειωτέον, ὅτι οἱ δύο προαναφερθεῖσες κλίμακες δίνουν τὶς ἴδιες συχνότητες, καὶ ὅτι τὴν παραπάνω συγκερασμένη κλίμακα χρησιμοποιοῦν τὰ περισσότερα (ἐξ ὅσων γνωρίζουμε) θεωρητικά (μερικὰ δίνουν ἐπιπλέον τῆς συγκερασμένης κλίμακας, καὶ κλίμακα μὲ λόγους), π.χ. τοῦ Ἀ.Χ. Εὐθυμιάδη, σ. 81, τοῦ Δ.Γ. Παναγιωτόπουλου, σ. 50, κ.ἄ. Ὅπως λοιπὸν εἶπε ἡ ἴδια ἡ Ἐπιτροπή, "προὐτίμησε τὴν πειραματικὴν μέθοδον πάσης θεωρίας". Καὶ ἐπίσης ἔπραξε τὴν διαίρεση τῆς διαπασῶν σὲ 36 ἴσα τμήματα "οὐχὶ ὁδηγουμένη ὑπὸ τῆς προηγηθείσης θεωρίας, ἀλλ' ὑπὸ τῆς ὀξύτητος τῆς ἀκοῆς τῶν μελῶν αὐτῆς", καὶ "μετὰ πολλὰς δοκιμάς", καὶ "προέβη εἰς τὴν σύγκρασιν κατὰ προσέγγισιν". Ἀξίζει νὰ ἀναφέρουμε τὴν παρατήρηση τοῦ ἀρχιμ. Παγκρατίου Βατοπεδινοῦ ἐπὶ τῇ βάσει ὄχι τῆς συγκερασμένης (36/72 κόμματα), ἀλλὰ αὐτῆς τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς (σ. 35): "Ἡ διαίρεσις αὕτη τῆς κλίμακος, ἢ μᾶλλον ὁ καθορισμὸς τοῦ μήκους τῆς χορδῆς ἑκάστου τόνου τῆς κλίμακος εἶνε μὲν ἀκουστικῶς ἀληθής, οὐχὶ ὅμως καὶ ἐπιστημονικῶς ἀκριβής· διότι δὲν ἐξήχθη ἀμέσως ἐκ μαθηματικῶν ὑπολογισμῶν, ἀλλὰ κατηρτίσθη ἐπὶ τῇ βάσει δοκιμῶν. Πᾶν δὲ τὸ ἐπὶ τῇ βάσει δοκιμῶν γινόμενον δὲν δύναται νὰ ᾖνε καὶ ἐπιστημονικῶς ἀκριβές, καὶ μάλιστα ἀντικείμενα ἀκοῆς· διότι ἐκεῖνο, ὅπερ ἐγὼ ἀντιλαμβάνομαι καὶ θεωρῶ διὰ τῆς ἀκοῆς μου ὡς ὀρθόν, μία ἄλλη ὀξυτέρα καὶ μᾶλλον εὐαίσθητος ἀκοὴ δύναται νὰ ἀποδείξῃ λελανθασμένον, καὶ δὲν δύναμαι νὰ ἀναιρέσω τὴν ἀντίληψιν καὶ γνώμην αὐτοῦ, διότι δὲν ἔχω ἐπιστημονικὴν μαθηματικὴν βάσιν, ἐφ' ἧς στηριζόμενος νὰ ἀποδείξω τὸ ἐναντίον". Ἂς σημειωθεῖ ἐπίσης, ὅτι τότε δὲν εἶχαν ἀναλυτὲς φάσματος καὶ ὑπολογιστὲς γιὰ νὰ καταγράψουν ἀκριβέστατα τὶς κλίμακες ποὺ ἔψαλλε ὁ κάθε ψάλτης· συνεπῶς ἂν ἡ ἴδια δουλειὰ γινόταν τὴν σημερινὴ ἐποχή, εἶναι δυνατὸν τὰ ἀποτελέσματα νὰ διέφεραν. Ἐπίσης, ὁ Χατζηαθανασίου (1948) γράφει γιὰ τὸν Βου τῆς Μουσικῆς Ἐπιτροπῆς: "Τὸ δὲ σφάλμα τῆς Μουσικῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ Οἰκουμενικοῦ Πατριαρχείου περὶ του ὕψους τοῦ τρίτου φθόγγου (Βου) καὶ τοῦ ἀναπαραγώγου αὐτοῦ (Ζω), προῆλθε - κατὰ τὴν ἡμετέραν ἀντίληψιν [ - ] ἐκ τοῦ ἐσφαλμένου συστήματος τὸ ὁποῖον εἶχεν αὕτη ὡς βάσιν πρὸς ἐξακρίβωσιν τοῦ σταθεροῦ ὕψους τῶν φθόγγων", καὶ ἀναφέρει τὸ χωρίον τῆς Ἐπιτροπῆς "Ἀντικείμενον ἐπανειλημμένων δοκιμῶν ἐγένετο τὸ μῆκος τῆς χορδῆς διὰ τὸν φθόγγον (Βου), ἡ μέση αὐτοῦ ἀξία εὑρέθη οὖσα (0,810) ἐπὶ χορδῆς ἑνὸς μέτρου", καὶ καταλήγει: "Ἐκ τῆς διατυπώσεως τοῦ χωρίου διαφαίνεται ὅτι τὸ ὕψος τοῦ φθόγγου (Βου) δὲν καθωρίσθη θετικῶς, ὅπως καὶ τῶν λοιπῶν φθόγγων, ἀλλὰ μᾶλλον κατὰ συμβιβασμόν. Ἐκ τούτου ἀποδεικνύεται ὅτι τὸ ληφθὲν βασικὸν σύστημα δὲν ἦτο τὸ ἐνδεδειγμένον. Τοιοῦτον δὲ εἶναι τὸ σύστημα τῶν δεσποζόντων φθόγγων καὶ τῶν ἀπηχημάτων. Ὁ φθόγγος (Βου) ἔχει τὸ ἐκφραστικώτερον ἀπήχημα πρὸς καθορισμὸν τοῦ φυσικοῦ αὐτοῦ ὕψους, τὸ ὁποῖον οὐδεὶς νόμος δύναται νὰ κλονίσῃ. Ὁ φθόγγος (Βου) ἀποτελεῖ τὸν βασικὸν φθόγγον τοῦ ἤχου "λέγετος". Τὸ ἀπήχημα αὐτοῦ δὲν ἐκφράζεται ἐκ τοῦ βαρέος πρὸς τὸ ὀξύ, ἀλλ' ἐκ τοῦ ὀξέος ἐπὶ τὸ βαρύ". Παρακάτω συγκρίνουμε τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου, μὲ τὴν κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς καὶ τῆς συγκερασμένης αὐτῆς κλίμακα, καθὼς καὶ μὲ τὴν διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου [μέγα Θεωρητικόν, σ. 28], ἡ ὁποῖα ἔχει ὡς ἐξῆς: Νη - 9/8 - Πα - 12/11 - Βου - 88/81 - Γα - 9/8 - Δι - 9/8 - Κε - 12/11 - Ζω - 88/81 - Νη', καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν:
ἢ ἰσοδύναμα,
ὅπου ὑπολογίσαμε ὅτι:
Ἡ σύγκριση τῶν προαναφερθέντων κλιμάκων (Διδύμου, Ἐπιτροπῆς, Χρυσάνθου) γίνεται στὸν Πίνακα 1, χρησιμοποιώντας ὡς ἀναφορὰ τὸν Νη, π.χ. Νη = C = 440 * 2^(-9/12) = 261.6256 Hz. [Τὰ ἀρχεῖα ἤχων δίνονται μόνο γιὰ ἐξάσκηση (π.χ. γιὰ ἐπαλήθευση τοῦ ὕψους τοῦ φθόγγου ποὺ διαβάζετε στὴν Παραλλαγή), καὶ ὄχι γιὰ χρησιμοποίηση μέσα στοὺς Ἱεροὺς Ναούς. Οἱ ἤχοι ἔχουν παραχθεῖ μὲ ὑπολογιστὴ μὲ ὑπέρθεση ἀρμονικῶν.]
Πίνακας 1. Σύγκριση Διατονικῶν Κλιμάκων.
[Σημ. Γιὰ σύγκριση καὶ ἄλλων διατονικῶν ἀρχαίων κλιμάκων, ὁ ἐνδιαφερόμενος παραπέμπεται στό: http://byzantine-music.gr/Klimakes/diatonikh_sugkrish2.html ] Κατ' ἀρχὴν παρατηροῦμε ὅτι ἡ διατονικὴ τοῦ Διδύμου, ἡ διατονικὴ τῆς Ἐπιτροπῆς, καὶ ἡ διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου, διαφέρουν μόνο κατὰ τοὺς φθόγγους Βου καὶ Ζω' (λόγῳ τοῦ ὁμοίου τετραχόρδου). Ἐπίσης βλέπουμε ὅτι ἡ διατονικὴ τῆς Ἐπιτροπῆς, μὲ τὴν συγκερασμένη αὐτῆς, διαφέρουν περίπου 1-1.5Hz, ποὺ κατὰ τὴν γνώμη μας δὲν εἶναι πολύ (δὲν εἶναι ὅμως καὶ λίγο). Δηλαδὴ ὁ συγκερασμὸς τῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς σὲ 12-10-8 κτλ. (λαμβάνοντας ὑπ' ὅψιν ἄθροισμα κομμάτων 72) εἶναι καλός. Ὅμως, ἡ συγκερασμένη κλίμακα 12-10-8, ἔγινε μὲ βάση τὴν κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς, καὶ δὲν εἶναι σωστὸ ποὺ ἀρκετοὶ θεωρητικοὶ τὴν δίνουν καὶ ὡς συγκερασμένη τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου, ἀφοῦ βλέπουμε ὅτι διαφέρουν μέχρι καὶ 6Hz. Συνεπῶς ἀπαιτεῖται (ἀκριβέστερος) συγκερασμὸς τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου.
3. Μέθοδος συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων. Ἐπειδὴ δὲν ἔχουμε δεῖ στὰ θεωρητικὰ βιβλία κάποια μέθοδο συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων σὲ ἀκέραια κόμματα (ἐκτὸς ἀπὸ τὸν Ἀλυγιζάκη, σ. 152, ὁ ὁποίος σκιαγραφεῖ σὲ λίγες γραμμὲς μιὰ μέθοδο χωρὶς ὅμως λεπτομέρειες), θὰ ἀναλύσουμε σὲ αὐτὴν τὴν ἑνότητα μιὰ ἐπιστημονικὴ μέθοδο. Ἂς ὑποθέσουμε ὅτι ἔχουμε ἕνα (ζ+1)-χορδο (τὸ ζ εἶναι ἀκέραιος), τοῦ ὁποῖου οἱ ἄκρες χορδές (π.χ. Ρ, Α), ἔχουν λόγο συχνοτήτων m>1, Α - λ(1) - B - λ(2) - Γ - λ(3) - ..... - λ(ζ) - Ρ καὶ τὸ ὁποῖο μᾶς δίνεται μὲ τοὺς λόγους λ(1), ..., λ(ζ), ποὺ περικλείονται στὸ παρακάτω διάνυσμα, λ = [λ(1), λ(2), ..., λ(ζ)]'. Αὐτὸ τὸ (ζ+1)-χορδο, θέλουμε ἐμεῖς νὰ τὸ συγκεράσουμε, δηλ. νὰ τὸ διαιρέσουμε σὲ Ν ἴσα ἀκουστικὰ τμήματα, καὶ νὰ πάρουμε τ(1), ..., τ(ζ), τ = [τ(1), τ(2), ..., τ(ζ)]' , ἄθροισμα[τ] = N, ἔτσι ὥστε τὸ (ζ+1)-χορδο νὰ δίνεται κατὰ προσέγγιση ὡς Α - τ(1) - B - τ(2) - Γ - τ(3) - ..... - τ(ζ) - Ρ. Οἱ ἀριθμοὶ τ μπορεῖ νὰ εἶναι ἀκέραιοι, ἀλλὰ καὶ νὰ ἔχουν παραπάνω ἀκρίβεια, π.χ. 0.5, 0.25, κ.ο.κ., ἀνάλογα μὲ τὴν προσέγγιση ποὺ θέλουμε νὰ κάνουμε. Τὸ πρόβλημα τώρα εἶναι, πῶς θὰ προσεγγίσουμε (συγκεράσουμε) τὸ (ζ+1)-χορδο. Ἡ προσέγγιση μπορεῖ νὰ γίνει γιὰ εὐκολία, εἴτε ὡς m.^(τ/N) -> λ (α) εἴτε παίρνοντας τοὺς λογάριθμους, π.χ. μὲ βάση r (γιὰ κάποιο r), στὴν ἀνωτέρω σχέση ὡς logr[m.^(τ/N)] -> logr[λ] (β). Γιὰ τὴν προσέγγιση θὰ ἀκολουθήσουμε μεθόδους μοντελοποίησης (modelling of data). Φυσικά, ἂν δὲν περιορίσουμε τὰ τ νὰ εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, ἀλλὰ πραγματικοί (τὸ ὁποῖο κατὰ τὴν γνώμη μας δὲν ἔχει μεγάλη "πρακτικὴ" ἀξία, καθότι οἱ πραγματικοὶ ἀριθμοὶ δὲν συγκρατοῦνται εὔκολα ἀπὸ τὴν μνήμη, ὅπως οἱ ἀκέραιοι), τότε ὁ ὑπολογισμός τους βγαίνει αὐτόματα ἀπὸ τὴν παραπάνω σχέση (β), ἐξισώνοντας τὰ δύο μέρη: logr[m.^(τ/N)] = logr[λ] <=> τ = Ν * logm[λ].
Ι. Ἐλάχιστα τετράγωνα (least-squares fit) Σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων θέλουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ, ὥστε νὰ ἐλαχιστοποιεῖται τὸ ἄθροισμα [Numerical Recipes in C, 2nd ed., σ. 657]: Φ = ἄθροισμα[ ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων) Ἐπίσης θὰ μπορούσαμε νὰ χρησιμοποιήσουμε (ἀνάμεσα σὲ ἄλλες παραλλαγές) τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων, προσεγγίζοντας τὸν λογάριθμο τῶν λόγων: Φ = ἄθροισμα[ ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων). Συνεπῶς ψάχνουμε γιὰ ὅλα τὰ διανύσματα τ (μὲ τὴν βοήθεια Η/Υ) ποὺ νὰ ἱκανοποιοῦν τοὺς παραπάνω περιορισμούς, καὶ ἐπιλέγουμε αὐτὸ τὸ διάνυσμα ποὺ ἐλαχιστοποιεῖ τὸ παραπάνω ἄθροισμα Φ (ὡς συνάρτηση τοῦ Ν).
Παράδειγμα (προσέγγιση τῆς διατονικῆς κλίμακας) Ἔστω ὅτι θέλουμε νὰ ὑπολογίσουμε τὰ τμήματα τῆς διατονικῆς κλίμακας (m=2): Νη - τ(1) - Πα - τ(2) - Βου - τ(3) - Γα - τ(1) - Δι - τ(1) - Κε - τ(2) - Ζω - τ(3) - Νη'. Γιὰ νὰ μειώσουμε τὴν πολυπλοκότητα τοῦ προβλήματος, θέτουμε ὅτι: τ(1) >= τ(2) >= τ(3) ἐπειδὴ ξέρουμε ὅτι τὸ ἕνα διάστημα εἶναι μεγαλύτερο τοῦ ἄλλου (τὴν ἰσότητα τὴν θέλουμε σὲ περίπτωση ποὺ τὸ Ν εἶναι μικρό). Ἀκόμη, ἐξ ὁρισμοῦ ἔχουμε (ἀπὸ τὴν παραπάνω διατονικὴ κλίμακα), Ν = 3*τ(1) + 2*τ(2) + 2*τ(3). Ἔστω λ = [λ(1), λ(2), λ(3)]', τὸ διάνυσμα ποὺ ἀντιστοιχεῖ στοὺς κλασματικοὺς λόγους τῆς κλίμακας· π.χ. γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου (1ης στήλης τοῦ Πίνακα 1): λ(1)=9/8, λ(2)=10/9, λ(3)=16/15. Τότε σύμφωνα μὲ τὴν παραπάνω μεθοδολογία, ψάχνουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ ὥστε νὰ μειώνεται τὸ παρακάτω ἄθροισμα Φ (α' ἢ β' μεθόδου): Φ = ἄθροισμα[ a .* ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ια') Φ = ἄθροισμα[ a .* ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ιβ').
ὅπου τὸ a
χρησιμοποιεῖται, ἐπειδὴ ὁ μείζων τόνος
τ(1) ἀπαντᾶται 3 φορές, ὁ ἐλάσσων τόνος
τ(2) 2 φορές, καὶ τὸ μείζον ἡμιτόνιο
τ(3) 2 φορές:
a
= [a(1), a(2), a(3)]' = [3, 2, 2]'. ΙΙ. Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης μποροῦν ἐπίσης νὰ χρησιμοποιηθοῦν (Κεφ. 15ο τοῦ "Numerical Recipes"), ἀλλὰ δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε γιατὶ δὲν τὸ κρίνουμε σκόπιμο, ἀλλὰ μᾶλλον χρονοβόρο.
4. Κριτικὴ στὸν συγκερασμὸ τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς, καὶ νέες συγκράσεις τῆς κλίμακάς της. Ἂς δοῦμε ὅμως τώρα, τὶς δέκα καλύτερες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881 μὲ τὴν μέθοδο Ια', θέτοντας (δὲς Πίνακα 1, 2η στήλη), λ(1)=9/8, λ(2)=800/729, λ(3)=27/25, καὶ περιορίζοντας τὰ τμήματα τ νὰ εἶναι μόνο ἀκέραιοι ἀριθμοί. Μὲ τὸν ὄρο καλύτερες συγκράσεις, ἐννοοῦμε ὅτι ψάχνουμε γιὰ τὰ Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα π.χ. 7 <= Ν <= 100, καὶ βρίσκουμε π.χ. τὰ 10 καλύτερα, ἀπὸ τὴν ἄποψη ὅτι ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ (σημείωσε, ὅτι γιὰ κάθε Ν ψάχνουμε τὰ τ ποὺ ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ). Τὰ ἀποτελέσματα δίνονται στὸν Πίνακα 2. Πίνακας 2. Οἱ δέκα καλύτερες νέες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 (2η στήλη τοῦ Πίνακα 1), ὡς πρὸς τὴν ἐλαχιστοποίηση τοῦ Φ τῆς μεθόδου Ια', μὲ 7 <= Ν <= 100.
Δυστυχῶς βλέπουμε τὸ Ν = 36 (ἢ 72) ποὺ πρότεινε ἡ Ἐπιτροπή, ὄχι στὶς πρῶτες θέσεις (ἀπὸ ἄποψη ἀκρίβειας συγκερασμοῦ), ἀλλὰ στὴν 9η (βάσει τοῦ Ν<=100). Τὴν τρίτη θέση κατέχει τὸ Ν=53, ποὺ ἀποδίδεται στὸν Δανὸ Μερκάτορα (17ος αἰ.) ποὺ τὸ βρῆκε σὲ συγγράματα τοῦ Κινέζου Κίνγκ Φάνγκ (2ος π.Χ. αἰ.), καὶ τὸ ὁποῖο χρησιμοποιεῖ ἡ τουρκικὴ μουσική [Κηπουργός, σ. 90]. Πάντως βλέπουμε ὅτι τὸ Ν = 36, δίνει ὅντως τ = [6, 5, 4]', καὶ τὸ Ν = 72, δίνει (εὔκολα ἐξάγεται) τ = [12, 10, 8]', καὶ τὸ ἴδιο Φ, μὲ τὴν περίπτωση Ν=36. Ἐπομένως,
Μᾶς ἀπασχόλησε τὸ ἐρώτημα, πῶς ἔφθασε ἡ Ἐπιτροπὴ στὸν ἀριθμὸ Ν=36, καὶ ὄχι σὲ κάποιον ἄλλον. Μιὰ πιθανὴ ἀπάντηση εἶναι ἡ ἐξῆς: παρατήρησε ὅτι στὸν Πίνακα 2, πάνω ἀπὸ τὸ Ν=36, δὲν ὑπάρχει Ν μικρότερο τοῦ 53. Ὁπότε ἂν ὑποθέσουμε ὅτι ἡ Ἐπιτροπὴ περιόρισε π.χ. τὰ Ν νὰ εἶναι μικρότερα τοῦ 53 ἢ ἄλλου ἀριθμοῦ μικρότερου τοῦ 53 (τότε δὲν εἴχαν Η/Υ γιὰ νὰ κάνουν τοὺς ὑπολογισμοὺς σὲ δευτερόλεπτα, ὁπότε θὰ κοιτοῦσαν νὰ μείνουν σὲ μικρὲς τιμὲς τοῦ Ν), τότε ὄντως τὸ Ν=36 δίνει τὸν ἀκριβέστερο συγκερασμό! Ἄς συγκρίνουμε ὅμως καὶ τὶς συχνότητες (δὲς Πίνακα 3), καὶ τὰ σέντς (δὲς Πίνακα 4), τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς, τῆς συγκερασμένης κατὰ τὴν ἐπιτροπή, καὶ τῆς συγκερασμένης μὲ τὴν μέθοδό μας ἔχοντας Ν=82.
Πίνακας 3. Σύγκριση ὡς πρὸς τὶς συχνότητες, τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 (2η στήλη, Πίνακας 1), μὲ τὶς συγκερασμένες κλίμακες τοῦ Ν = 36 (Ν = 72 δίνει ἴδια, ἀλλὰ τὴν ἀναφέρουμε), καὶ Ν = 82 (ποὺ δίνει τὸ ἐλάχιστο Φ, γιὰ 7 <= Ν <= 100, μὲ τὴν μέθοδο Ια').
Ἐπειδὴ ἐξ ὁρισμοῦ, ἡ μία ὀκτάβα ἔχει 1200 σέντς, τὰ σέντς c μὲ βάση τὰ κόμματα/τμήματα τ (Ν) δίνονται ἀπὸ τὴν σχέση, c = τ*1200/N, ὅπου τ τὰ τμήματα τῶν συγκερασμένων κλιμάκων. Σὲ σχέση μὲ τοὺς λόγους λ, τὰ σέντς c δίνονται ἀπὸ τὴν σχέση c = 1200*log2(λ).
Πίνακας 4. Σύγκριση ὡς πρὸς τὰ σέντς, τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 (2η στήλη, Πίνακας 1), μὲ τὶς συγκερασμένες κλίμακες τοῦ Ν = 36 (Ν = 72 δίνει ἴδια, ἀλλὰ τὴν ἀναφέρουμε), καὶ Ν = 82 (ποὺ δίνει τὸ ἐλάχιστο Φ, γιὰ 7 <= Ν <= 100, μὲ τὴν μέθοδο Ια').
Παρατηροῦμε, ὅτι ὅντως ἡ διαίρεση τῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς 1881, σὲ 82 τμήματα εἶναι ἀκριβέστερη αὐτῆς τῆς διαίρεσης τῆς ἴδιας τῆς Ἐπιτροπῆς σὲ 36 (72). Ἂς προχωρήσουμε ὅμως λίγο παραπάνω, καὶ ἂς ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/2. Τότε, γιὰ τὸ χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται καὶ πάλι ἀπὸ τὰ τμήματα 12-10-8 (Φ=4.6167e-5). Ἂν ὅμως ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν (ἐκτὸς ἀπὸ τὶς ἀκέραιες) καὶ τιμὲς +1/4, +1/2, +3/4, τότε, γιὰ τὸν χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται ἀπὸ τὰ τμήματα (Φ=3.5565e-005), 12, 9+3/4, 8+1/4. Ἐπίσης, γιὰ καθαρὰ ἐρευνητικοὺς λόγους, αὐξήσαμε τὸ πεδίο τοῦ Ν, καὶ τὰ ἀποτελέσματα ἔχουν ὡς ἐξῆς (μέθοδος Ια'):
5. Συγκερασμοὶ τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου. Εἴδαμε λοιπόν, ὅτι ὁ συγκερασμὸς τῆς διατονικῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς σὲ 36 τμήματα, εἶναι ἀκριβὴς μόνο ἂν θεωρήσουμε Ν<53, καὶ ἐπίσης δεδομένων τῶν 36 τμημάτων, ἡ ἀντιστοίχηση 6-5-4 (ἢ 12-10-8 στὰ 72 τμήματα) στοὺς μείζονες, ἐλάσσονες τόνους καὶ τὰ μείζονα ἡμιτόνια, εἶναι ἀκριβής. Ὅμως ὅπως εἴδαμε, τὰ περισσότερα θεωρητικὰ ἔχουν ἀπορρίψει τοὺς λόγους τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881, καὶ χρησιμοποιοῦν τὴν κλίμακα τοῦ Διδύμου (Πίνακας 1, 1η στήλη). Τὸ περίεργο εἶναι, ὅτι ὑπάρχουν θεωρητικοί, ποὺ δίνουν τὴν διατονικὴ κλίμακα ὄχι μὲ τοὺς λόγους τῆς Ἐπιτροπῆς, ἀλλὰ μὲ τοὺς λόγους τοῦ Διδύμου, καὶ ἀπὸ τὴν ἄλλη χρησιμοποιοῦν τὴν συγκερασμένη κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς ὡς συγκερασμένη τῆς τοῦ Διδύμου, πράγμα ἄτοπο! Γιὰ αὐτὸ τὸν λόγο θὰ κοιτάξουμε νὰ ἐφαρμόσουμε τὴν μεθοδολογία μας, πρὸς νέους συγκερασμοὺς τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου, θέτοντας λ(1)=9/8, λ(2)=10/9, λ(3)=16/15, καὶ περιορίζοντας τὰ τμήματα τ νὰ εἶναι μόνο ἀκέραιοι ἀριθμοί. Ψάξαμε λοιπὸν γιὰ τὰ Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα 7 <= Ν <= 100, καὶ βρήκαμε ὅτι τὰ δέκα καλύτερα (μαζὶ μὲ τὰ ἀντίστοιχα τμήματα τ), ἀπὸ τὴν ἄποψη ὅτι ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ, εἶναι τὰ ἐξῆς (Πίνακας 5). Πίνακας 5. Οἱ δέκα καλύτερες νέες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (1η στήλη Πίνακα 1), ὡς πρὸς τὴν ἐλαχιστοποίηση τοῦ Φ, μὲ 7 <= Ν <= 100, μὲ τὴν μέθοδο Ια'.
Ἀπὸ τὸ παραπάνω βλέπουμε ὅτι ἂν θεωρήσουμε ὅτι διαιροῦμε τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου σὲ 72 τμήματα, τότε τὰ τμήματα ποὺ ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ δὲν εἶναι τὰ 12-10-8 (τὰ ὁποῖα ἦσαν γιὰ τὴν κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ 1881, δὲς Πίνακα 2), ἀλλὰ τὰ 12-11-7! Ἂς προχωρήσουμε ὅμως λίγο παραπάνω, ὅπως καὶ στὴν προηγούμενη ἐνότητα, καὶ ἂς ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/4, +1/2, +3/4 (ἐκτὸς ἀπὸ τοὺς ἀκέραιους ἀριθμούς), τότε, γιὰ τὸν χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται καὶ πάλι ἀπὸ τὰ τμήματα 12-11-7 (Φ=3.8582e-5). Ἂν ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/5, +2/5, +3/5, +4/5, τότε, γιὰ τὸν χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται ἀπὸ τὰ τμήματα (Φ=1.6669e-5) 12+2/5, 10+4/5, 6+3/5. Ἀπλῶς νὰ ἀναφέρουμε, ὅτι πρῶτος (κατὰ τὶς γνώσεις μας) ὁ Μισαηλίδης (1902), π.χ. σ. 53, 82, ἀναφέρει τὴν διατονικὴ κλίμακα στὰ 12-11-7 τμήματα (σύνολο 72) - περισσότερες λεπτομέρειες δὲν μποροῦμε νὰ δώσουμε, καθότι δὲν ἔχουμε ὅλο τὸ βιβλίο του, παρὰ φωτογραφίες ποὺ βγάλαμε ἀπὸ τὸ βιβλίο ποὺ τὸ βρήκαμε στὴν Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Ἑλλάδος. Πάντως παρατηροῦμε ὅτι στὸν συγκερασμὸ τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (Πίνακας 5), τὸ Ν=53 δίνει τὸν ἀκριβέστερο συγκερασμὸ γιὰ Ν<=100. Ἂν ὅμως μεγαλώσουμε τὸ πεδίο τοῦ Ν, καὶ θέσουμε π.χ. Ν<=300, τότε τὰ ἀποτελέσματα διαφέρουν. Γιὰ παράδειγμα, ψάξαμε γιὰ τὰ Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα 7 <= Ν <= 300, καὶ βρήκαμε ὅτι τὰ δέκα καλύτερα, ἀπὸ τὴν ἄποψη ὅτι ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ (μέθοδος Ια'), εἶναι τὰ ἐξῆς (Πίνακας 6). Πίνακας 6. Οἱ δέκα καλύτερες νέες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (1η στήλη Πίνακα 1), ὡς πρὸς τὴν ἐλαχιστοποίηση τοῦ Φ, μὲ 7 <= Ν <= 300, μὲ τὴν μέθοδο Ια'.
Στὸν Πίνακα 7 ἔχουμε τὴν σύγκριση (ὡς πρὸς τὶς συχνότητες) τῆς διατονικῆς τοῦ Διδύμου, μὲ τὶς ἀντίστοιχες συγκερασμένες χρησιμοποιώντας Ν=72 (12-11-7), Ν=53 (9-8-5), καὶ Ν=118 (20-18-11). Ἡ σύγκριση μὲ Ν=72 (12-10-8) ὑπάρχει ἤδη στὸν Πίνακα 1.
Πίνακας 7. Σύγκριση ὡς πρὸς τὶς συχνότητες, τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Διδύμου (1η στήλη, Πίνακας 1), μὲ τὶς συγκερασμένες κλίμακες τοῦ Ν=72 (12-11-7), Ν=53 (9-8-5), καὶ Ν=118 (20-18-11).
Ἀπὸ τὴν παραπάνω σύγκριση παρατηροῦμε ὅτι τὸ Ν=118, ἢ 53 δίνει μεγαλύτερη ἀκρίβεια ἀπὸ τὸ Ν=72, ἀλλὰ ἡ μεταξύ τους σύγκριση εἶναι δύσκολη, καθότι ἡ διαφορὰ στὸ Φ εἶναι μικρή (δὲς Πίνακες 5, 6). Ἐπίσης καὶ γιὰ τὴν κλίμακα τοῦ Διδύμου, αὐξήσαμε τὸ πεδίο τοῦ Ν, καὶ τὰ ἀποτελέσματα ἔχουν ὡς ἐξῆς (μέθοδος Ια'):
6. Συγκερασμοὶ τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου Σὲ αὐτὴν τὴν παράγραφο, θὰ ἐφαρμόσουμε καὶ πάλι τὴν μέθοδό μας, αὐτὴν τὴν φορὰ γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου (Παρ. 2, καὶ Πίνακας 1, 3η στήλη), θέτοντας λ(1)=9/8, λ(2)=12/11, λ(3)=88/81, καὶ περιορίζοντας τὰ τμήματα τ νὰ εἶναι μόνο ἀκέραιοι ἀριθμοί. Ψάξαμε λοιπὸν καὶ σὲ αὐτὴν τὴν περίπτωση γιὰ τὰ Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα 7 <= Ν <= 100, καὶ βρήκαμε ὅτι τὰ δέκα καλύτερα (μαζὶ μὲ τὰ ἀντίστοιχα τμήματα τ), ἀπὸ τὴν ἄποψη ὅτι ἐλαχιστοποιοῦν τὸ Φ, εἶναι τὰ ἐξῆς (Πίνακας 8). Πίνακας 8. Οἱ δέκα καλύτερες νέες συγκράσεις τῆς διατονικῆς κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου, ὡς πρὸς τὴν ἐλαχιστοποίηση τοῦ Φ, μὲ 7 <= Ν <= 100, μὲ τὴν μέθοδο Ια'.
Ἄν θέσουμε Ν=68, τότε βρίσκουμε τὸν ἀκόλουθο συγκερασμό (ποὺ ἐλαχιστοποιεῖ τὸ Φ): τ = [12, 8, 8]', μὲ Φ=1.534429226890763e-004, καὶ ἂν ἀφήσουμε τὰ τμήματα τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/3, +2/3, τότε τ = [12, 8+1/3, 7+2/3]', μὲ Φ=1.414187497358495e-004. Ἐπίσης ἂν θέσουμε Ν=72, βρίσκουμε: τ = [12, 9, 9]', μὲ Φ=5.306892730564770e-005, καὶ ἂν ἀφήσουμε τὰ τμήματα τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/3, +2/3, τότε τ = [12, 9+1/3, 8+2/3]', μὲ Φ=3.929571600311490e-005. Τέλος, αὐξήσαμε τὸ πεδίο τοῦ Ν, καὶ τὰ ἀποτελέσματα ἔχουν ὡς ἐξῆς (μέθοδος Ια'):
7. Συμπεράσματα
8. Ἀναφορές (κατ' ἀλφάβητον)
* * *
Ἂν βρεῖτε κανένα λάθος, ἢ γνωρίζετε ἄλλη σχετικὴ ἐργασία, παρακαλῶ εἰδοποιῆστε με.
α' πρόχειρη διαδικτυακὴ ἔκδοση: 22/6/2005 [pdf] |
